Question

【题目】如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．

（1）求证：是的中点；

（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ADBF是矩形，证明见解析．

【解析】

（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD；
（2）四边形AFBD是矩形．由于AF∥DB，AF=DB，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．

证明：（1）∵E是AD中点，

∴AE=DE

∵AF‖BC，

∴∠AFE=∠DCE，∠EAF=∠EDC

在△AFE和△DCE中，

∴△AFE≌△DCE，

∴AF=DC

又∵AF=DB，

∴DC=BD，

∴点D是BC的中点

（2）四边形ADBF是矩形

∵AF∥DB，AF=DB，

∴四边形ADBF是平行四边形．

又∵AB=AC，

D为BC中点，

∴AD⊥BC，

∴四边形ADBF是矩形.