Question

15．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．
（1）操作：将三角板中的90°角的顶点与点O重合，使这个角落在△ABC的内部，两边分别与正方形ABCD的边AB，BC交于F，E，当F，E的位置发生变化时，请你通过测量并回答，每组AF，FE，EC三条线段中，哪一条线段始终最长；
（2）以AF，FE，EC这三条线段能否组成以FE为斜边的直角三角形？若能，请你证明；若不能，请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据测量即可得到结论；
（2）由四边形ABCD是正方形，得到AC⊥BD，∠FAO=∠OBE=45°，AO=BO，通过△AOF≌△BOE，得到AF=BE，同理CE=BF，于是得到线段BF，BE，EF能组成以FE为斜边的直角三角形，从而得到结论．

解答 解：（1）通过测量得到每组AF，FE，EC三条线段中，线段EF始终最长；
（2）能，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠FAO=∠OBE=45°，AO=BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOF+∠FOB=∠FOB+∠BOE=90°，
∴∠AOF=∠BOE，
在△AOF与△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠OBE}\\{AO=BO}\\{∠AOF=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOE，
∴AF=BE，
同理CE=BF，
∵∠FBE=90°，
∴线段BF，BE，EF能组成以FE为斜边的直角三角形，
∴AF，FE，EC这三条线段能组成以FE为斜边的直角三角形．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，证明△AOF≌△BOE是解题的关键．