Question

计算：

1

1+2

+

1

1+2+3

+

1

1+2+3+4

+…+

1

1+2+3+…+n

Answer 1

分析：首先从第n个式子分母入手：1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，得出

1

1+2+3+…+n

，=

1

n(n+1) 2

=

2

n(n+1)

，从而可以表示出原式中各项，再利用拆项法展开原式，从而求出原式的值．

解答：解：当第n个式子分母是：
1+2+3+4+…+n
=

n(n+1)

2

，
∴

1

1+2+3+…+n

，
=

1

n(n+1) 2

，
=

2

n(n+1)

，
∴

1

1+2

+

1

1+2+3

+

1

1+2+3+4

+…+

1

1+2+3+…+n

，
=

2

2(2+1)

+

2

3(3+1)

+

2

4(4+1)

+…+

2

n(n+1)

，
=2（

1

2×(2+1)

+

1

3×(3+1)

+

1

4×(4+1)

+…+

1

n(n+1)

），
=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+1

），
=2（

1

2

-

1

n+1

），
=1-

2

n+1

，
=

n-1

n+1

．

点评：此题主要考查了有理数的运算中拆项问题，得出1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，以及

1

1+2+3+…+n

=

2

n(n+1)

，是解决问题的关键．