Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB．求证：PE=CD+PF．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：作CG⊥PE于G，先证明四边形CDEG是矩形，得出GE=CD，再证明△PGC≌△PFC，证出PG=PF，即可得出结论．

解答： 解：作CG⊥PE于G，如图所示：
则∠CGE=∠CGP=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，
∴∠GED=∠PFC=∠EDC=90°，CD∥PE，
∴四边形CDEG是矩形，∠1=∠3，
∴GE=CD，
∵∠AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠B+∠3=90°，∠2+∠PCF=90°，∠ACB=∠PCF，
∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，
在△PGC和△PFC中，

∠CGP=∠PFC   ∠1=∠2   CP=CP

，
∴△PGC≌△PFC（AAS），
∴PG=PF，
∴PE=GE+PG=CD+PF．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等得出线段相等是解题的关键．