Question

如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．  

求证：(l) ∠E=∠A；  
(2)若BE、CE是△ABC两外角平线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？

Answer 1

证明:(1)∵三角形内角和为180°，            
∴∠A+∠ABC+ ∠ACB=180°，            
∴∠CBE+∠E+ ∠BCE=180°．          
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD.    
∴∠CBE=∠ABC，∠ACE=∠ACD.    
∵三角形外角等于不相邻的两内角和，    
∴∠ACD=∠A+ ∠ABC，∠BCE=∠ACB+∠ACE．    
由∠CBE+ ∠E+∠BCE=180°可知 ∠ABC+ ∠E+∠ACB+∠ACE=180°，    
左式=∠ABC+∠E+∠ACB+∠ACD=∠ABC+∠E+∠ACB+ (∠A+∠ABC)=∠ABC+∠E+∠ACB+∠A.    
又∵∠A+ ∠ABC.+∠ACB=180°．      
∴∠A+∠ABC+∠ACB =∠ABC+∠E+∠ACB+∠A.      
∴∠E=∠A．  
(2)∠E=90°-∠A