题目内容
（2012•江汉区模拟）已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点F为边AB的中点，EF∥CD交BC于点E，则下列结论：①AC=
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其中一定成立的是（ ）
分析：过A作AM∥EF交BC延长线于M，求出AM=2EF，由勾股定理求出AM=
AC，得出2EF=
AC，即可判断①；根据ME=BE，AC=CM求出BC-AC=2EM-MC=2EF，即可判断②；过F作FN⊥BC于N，由勾股定理求出EF=
EN=
FN，即可判断③；过D作DQ⊥AC于Q，证△AQD∽△ACB，推出
=
，推出
=
，得出
=
，证△BEF∽△BCD，推出
=
，即可判断④．
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| 2 |
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| DQ |
| AD |
| BC |
| AB |
| CD | ||
|
| BC |
| AB |
| CD |
| BC |
| ||
| AB |
| EF |
| BE |
| CD |
| BC |
解答：解：
过A作AM∥EF交BC延长线于M，
∵EF∥CD，
∴∠BEF=∠M=∠BCD，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠M=∠BEF=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠CAM=∠M=45°，
∴MC=AC，
∵AM∥EF，F为AB中点，
∴E为BM中点，
∴AM=2EF，
由勾股定理得：AM=
AC，
∴2EF=
AC，
AC=
EF，∴①正确；
∵ME=BE，AC=CM，
∴BC-AC=2EM-MC=2EF，∴②正确；
如图，过F作FN⊥BC于N，
∵∠BEF=45°，
∴∠NEF=∠NFE=45°，
∴EN=FN，
由勾股定理得：EF=
EN=
FN，根据已知不能推出CE=EN，∴③错误；
如图
过D作DQ⊥AC于Q，
则∠AQD=∠CQD=∠ACB=90°，DQ∥BC，
∴△AQD∽△ACB，
∴
=
，
∵∠CQD=90°，∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠CDQ=45°，
∴CQ=DQ，由勾股定理得：DQ=
CD，
∴
=
，
∴
=
，
=
，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴
=
，
∴
=
，
∴EF•AB=
AD•BE，∴④正确；
故选A．
过A作AM∥EF交BC延长线于M，
∵EF∥CD，
∴∠BEF=∠M=∠BCD，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠M=∠BEF=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠CAM=∠M=45°，
∴MC=AC，
∵AM∥EF，F为AB中点，
∴E为BM中点，
∴AM=2EF，
由勾股定理得：AM=
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∴2EF=
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AC=
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∵ME=BE，AC=CM，
∴BC-AC=2EM-MC=2EF，∴②正确；
如图，过F作FN⊥BC于N，
∵∠BEF=45°，
∴∠NEF=∠NFE=45°，
∴EN=FN，
由勾股定理得：EF=
| 2 |
| 2 |
如图
过D作DQ⊥AC于Q，
则∠AQD=∠CQD=∠ACB=90°，DQ∥BC，
∴△AQD∽△ACB，
∴
| DQ |
| AD |
| BC |
| AB |
∵∠CQD=90°，∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠CDQ=45°，
∴CQ=DQ，由勾股定理得：DQ=
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∴
| ||||
| AD |
| BC |
| AB |
∴
| CD | ||
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| BC |
| AB |
| CD |
| BC |
| ||
| AB |
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴
| EF |
| BE |
| CD |
| BC |
∴
| EF |
| BE |
| ||
| AB |
∴EF•AB=
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故选A．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形，勾股定理的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等，有两个角对应相等的两三角形相似．
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