Question

已知：关于mx²-（3m+2）x+2m+2=0．
（1）求证：方程有实数根；
（2）当m＞0时，若有一边长为3的等腰三角形，它的另外两边长分别是方程的两根，求这个等腰三角形的周长．

Answer 1

（1）证明：①当m=0，方程变形为：2x+2=0，原方程的解为x=-1；
②当m≠0，
△=（3m+2）²-4×m×（2m+2）
=m²+4m+4
=（m+2）²，
∵（m+2）²≥0，
∴△≥0，
此时方程有两个实数根；
∴综上所述，m为任意实数，方程有实数根；
（2）∵原方程有两根，
∴m≠0，
∴x=

3m+2± (m+2)2

2m

=

3m+2±(m+2)

2m

，
∴x=

2m+2

m

或1，
当腰为3，则

2m+2

m

=3，解得m=2，
此时三角形的周长=3+3+1=7；
当腰长为1，则

2m+2

m

=1，解得m=-2，则1+1＜3，不符合三角形三边的关系，故舍去．
所以当m=2时三角形的周长为7．