Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是关于m的函数，且y=x₂-2x₁，求这个函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）运用根的判别式判断，列出判别式的表达式，再变形成为非负数，得出△≥0即可；
（2）可根据求根公式求出x₁，x₂，代入y=x₂-2x₁中，得出关于m的函数关系式．

解答：（1）证明：∵mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）是关于x的一元二次方程，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²，
∵m＞0，
∴（m+2）²＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：由求根公式，得 x=

(3m+2)±(m+2)

2m

．
∴x=

2m+2

m

或x=1，
∵

2m+2

m

=2+

2

m

，m＞0，
∴

2m+2

m

=2+

2

m

＞2，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=1，x₂=2+

2

m

，
∴y=x₂-2x₁=2+

2

m

-2×1=

2

m

，即 y=

2

m

（m＞0），
∴该函数的解析式是：y=

2

m

（m＞0）．

点评：本题重点考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．