Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝4，点D是AC的中点，点F是边AB上一动点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，若线段A′D交AB于点E，且△BA′E为直角三角形，则BF的长为_____．

Answer 1

【答案】6或

【解析】

由三角函数得出∠A＝30°，由直角三角形的性质得出AB＝2BC＝8，由折叠的性质得出DA＝DC＝，FA′＝FA，∠DA′F＝∠A＝30°，设BF＝x，则AF＝8﹣x，FA′＝8﹣x，①当∠BEA′＝90°时，由三角函数得出AE＝3，得出EF＝3﹣（8﹣x）＝x﹣5，由直角三角形的性质得出方程，解方程即可；

②当∠BA'E＝90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，证明Rt△BDA'≌Rt△BDC，得出BA′＝BC＝4，求出∠FA'H＝60°，在Rt△BFH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝4，

∴tanA＝，

∴∠A＝30°，

∴AB＝2BC＝8，

∵点D是AC的中点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，线段A′D交AB于点E，

∴DA＝DC＝，FA′＝FA，∠DA′F＝∠A＝30°，

设BF＝x，则AF＝8﹣x，FA′＝8﹣x，

①当∠BEA′＝90°时，在Rt△ADE中，cosA＝，

∴AE＝×cos30°＝3，

∴EF＝3﹣（8﹣x）＝x﹣5，

在Rt△A'FE中，∵∠FA'E＝30°，

∴FA'＝2FE，即8﹣x＝2（x﹣5），

解得x＝6，即BF＝6；

②当∠BA'E＝90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，如图所示：

在Rt△BDA'和△BDC中，，

∴Rt△BDA'≌Rt△BDC（HL），

∴BA′＝BC＝4，

∵∠BA'F＝∠BA'E+∠FA'E＝90°+30°＝120°，

∴∠FA'H＝60°，

在Rt△FHA'中，A′H＝A′F＝（8﹣x），FH＝A′H＝（8﹣x），

在Rt△BFH中，∵FH2+BH2＝BF2，

∴（8﹣x）2+[（8﹣x）+4]2＝x2，

解得：x＝，即BF＝．

综上所述，BF的长为6或．

故答案为：6或．