Question

14．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，CE，AF分别平分∠BCA，∠CAD．
（1）求证：△BCE≌△DAF；
（2）若AC=BC，求证：四边形AECF是矩形．

Answer 1

分析 （1）只要证明BC=AD，∠B=∠D，∠BCE=∠DAF即可解决问题；
（2）首先证明四边形AECF是平行四边形，再证明CE⊥AB即可；

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠DAC=∠ACB，
∵CE，AF分别平分∠BCA，∠CAD，
∴∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠DAF=∠BCE，
在△BCE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{BC=DA}\\{∠BCE=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DAF．

（2）∵△BCE≌△DAF，
∴EC=AF，BE=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CA=CB，CE平分∠ACB，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．