Question

如图，点D在△ABC的边BC上，DC=AC=BD，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：△AEF∽△ABD．
（2）若△AEF的面积为1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由DC=AC，CF是∠ACB的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AF=DF，又由点E是AB的中点，即可得EF是△ABD的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥BD，即可得△AEF∽△ABD；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ABD的面积，又由DC=BD，即可得S_△ABC=2S_△ABD．

解答：（1）证明：∵DC=AC，CF是∠ACB的平分线，
∴AF=DF，
∵点E是AB的中点，
即AE=BE，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD；

（2）∵△AEF∽△ABD，
∴

S△AEF

S△ABD

=(

AE

AB

)2，
∵AE=

1

2

AB，S_△AEF=1，
∴S_△ABD=4，
∵BD=CD，
∴S_△ABC=2S_△ABD=8．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．