Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，

（1）求证：BM=MN=NC．

（2）求MN的长度．

Answer 1

（1）见解析（2）3cm

【解析】

试题分析：（1）连接AM、AN，根据线段垂直平分线性质推出BM=AM，CN=AN，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠BAM=∠CAN，∠B=∠C，根据ASA证△BAM≌△CAN，推出AM=AN，证出△AMN是等边三角形即可；

（2）代入MN=BC，即可求出答案．

【解析】
（1）证明：连接AM、AN，

在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

又∵ME、NF分别垂直平分AB、AC，

∴AM=BM，AN=NC，

∴∠MBA=∠MAB=30°，∠NAC=∠NCA=30°，

∴∠MAN=60°，

在△ABM和△ANC中

，

∴△ABM≌△ANC，

∴AM=AN，

△AMN为等边三角形，

∴AM=MN=AN，

∴BM=MN=NC．

（2）由（1）知：MN=BC=3（cm），

答：MN的长度是3cm．