Question

12．如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
注：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-b^2}{4a}$）

Answer 1

分析 （1）利用对称轴方程可求得b，把点A的坐标代入可求得c，可求得抛物线的解析式；
（2）根据A、B关于对称轴对称可求得点B的坐标，利用抛物线的解析式可求得B点坐标；
（3）根据B、C坐标可求得BC长度，由条件可知BC为过O、B、C三点的圆的直径，可求得圆的面积．

解答 解：
（1）由A（-1，0），对称轴为x=2，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=2}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-4x-5；
（2）由A点坐标为（-1，0），且对称轴方程为x=2，可知AB=6，
∴OB=5，
∴B点坐标为（5，0），
∵y=x²-4x-5，
∴C点坐标为（0，-5）；
（3）如图，连接BC，则△OBC是直角三角形，

∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度，
在Rt△OBC中，OB=OC=5，
∴BC=5$\sqrt{2}$，
∴圆的半径为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴圆的面积为π（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{25}{2}$π．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有二次函数的性质、待定系数法、勾股定理、圆周角定理等．在（3）中确定出圆的半径是解题的关键．本题属于基础性的题目，难度不大．