如图.在平面直角坐标系中.矩形ABCO的面积为15.边OA比OC大2．E为BC的中点.以OE为直径的⊙O′交轴于D点.过点D作DF⊥AE于点F． ⑴求OA.OC的长, ⑵求证:DF为⊙O′的切线, ⑶小明在解答本题时.发现△AOE是等腰三角形．由此.他断定:“直线BC上一定存在除点E以外的点P.使△AOP也是等腰三角形.且点P一定在⊙O′外．你同意他的看法吗?请充分说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交

轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．

⑴求OA、OC的长；

⑵求证：DF为⊙O′的切线；

⑶小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

答案：
解析：

答案：解：（1）在矩形OABC中，设OC=x 则OA= x+2，依题意得

解得：

（不合题意，舍去） ∴OC=3， OA=5

（只要学生写出OC＝3，OA＝5即给2分）

（2）连结O′D 在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，

∴ △OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2

在⊙O′中， ∵ O′O= O′D ∴∠1=∠3

∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE，

∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D

又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，

∴DF为⊙O′切线。

⑶不同意.理由如下:

当AO=AP时，

以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P₁和P₄两点

过P₁点作P₁H⊥OA于点H，P₁H = OC = 3，∵A P₁= OA =5

∴A H = 4， ∴OH =1 求得点P₁（1，3）同理可得：P₄（9，3）

②当OA=OP时，

同上可求得:：P₂（4，3），P₃（4，3）

因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P₁，又存在⊙O′外的点P₂、P₃、P₄，它们分别使△AOP为等腰三角形。

练习册系列答案

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（2）当∠CPD=∠OAB，且

，求这时点P的坐标．

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．

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．

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（1）求梯形OABC的面积；
（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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