题目内容

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=3，AB=4，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，使点A落在OC边上的点E处，抛物线y=ax²+bx+c过A，E，B三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为抛物线的对称轴上一动点，当△MBE的周长最小时，求M点的坐标；
（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BO向点O运动．P点到达终点B时，Q点同时停止运动，运动时间为t（秒）．设△PBQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA=3，AB=4，
∴∠OAB=∠OCB=90°，OC=AB=4，CB=OA=3．
又∵OE=OA=3，
∴A﹙0，3﹚，B﹙4，3﹚，E﹙3，0﹚
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，E三点，
∴ $\text{[math]}$
解之得： $\text{[math]}$
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3．

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵点A，B关于直线x=2对称，
∴M为直线AE与对称轴x=2的交点时，ME+MB的值最小，而BE的长一定，此时△MBE的周长最小．
设直线AE的解析式为y=kx+m，
则有 $\text{[math]}$
解之得 $\text{[math]}$
∴y=-x+3．
当x=2时，y=1，
∴M点的坐标为（2，1）

（3）过Q点作QN⊥AB于N．

在矩形OABC中，OA⊥AB，
又∵∠ABO=∠NBQ，
∴△ABO∽△NBQ．
∴ $\text{[math]}$
而OB= $\text{[math]}$ =5，BQ=AP=t，
∴QN= $\text{[math]}$ ，PB=4-t．
∴S= $\text{[math]}$ PB•QN= $\text{[math]}$ （4-t）× $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ （0＜t＜4）．
分析：（1）先求出A、B、E三点坐标，再将A、B、E三点坐标代入y=ax²+bx+c即可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可知：M为直线AE与对称轴x=2的交点时，△MBE的周长最小，先求出直线AE的解析式，进而可求得点M的坐标；
（3）根据题意先求出△ABO∽△NBQ，再根据相似的性质求出PB和QN的长，进而求得△PBQ的面积为S与t之间的函数关系式．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形相似的性质及动点问题等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．