Question

20．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若PC=2$\sqrt{5}$，⊙O的半径为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 首先连接OB，利用切线的性质与OP⊥l，易证得∠ACP=∠CBA，即可证得AB=AC，然后设⊙O的半径为x，利用勾股定理，分别表示出AB与AC，即可得方程：（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²=5²-r²，继而求得答案．

解答 解：连接OB，
∵AB为切线，
∴∠OBA=90°，即∠OBP+∠PBA=90°，
∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACP+∠CPA=90°，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP．
而∠OPB=∠CPA，
∴∠CPA=∠OBP．
∴∠ACP=∠CBA，
∴AB=AC；
设⊙O的半径为r，
在Rt△PAC中，PA=OA-OP=5-r，
∴AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
在Rt△ABO中，AB²=OA²-OB²=5²-r²，
而AB=AC，
∴（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²=5²-r²，解得r=3，
即⊙O的半径为3．
故选D．

点评 此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．