题目内容

例1 如图，在正方形ABCD中，O是对角线，AC，BD的交点，过点O作，

OE，OF分别交边AB，BC于点E和F，若AE=4，CF=3。

（1）求EF的长；（2）求的面积

解：（1）在和中，（同为的余角）

在

（2）

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如图，在正方形ABCD中，边长为4a，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=

BC，问：AF与EF会垂直吗？若垂直，说明理由；若不垂直，请举出反例．

原题：“如图1，正方形ABCD中，BG是外角∠CBH的角平分线，E是AB上一点（不与A、B重合），EF⊥DE交BG于F，求证：DE=EF．”
证明的思路是：在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，由AAS可得△DME≌△EBF．
阅读了以上材料后，请你解答下列问题：
（1）如图2，如果将原题中的条件“正方形”改为“正三角形”，“EF⊥DE”改为“∠DEF=60°”，其它条件不变，原题的结论还成立吗？如果成立请给出正面，如果不成立请给出反例．
（2）如果将原题中的条件“正方形”改为“正五边形”，请你模仿原题写出一个真命题，并在图3中画出相应的图形．

28、小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”
（1）小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；
（2）小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．

如图，在正方形ABCD中，边长为4a，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE= $数学公式$ BC，问：AF与EF会垂直吗？若垂直，说明理由；若不垂直，请举出反例．