题目内容
28、小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”
（1）小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；
（2）小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．
（1）小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；
（2）小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．
分析：（1）延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．
（2）同（1），延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．
（2）同（1），延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．
解答：
证明：（1）如图①，延长AE交BC的延长线与点M．
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
（2）EF⊥AE仍然成立．理由如下：
如图③，延长AE交BC的延长线与点M，
∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
证明：（1）如图①，延长AE交BC的延长线与点M．∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
（2）EF⊥AE仍然成立．理由如下：
如图③，延长AE交BC的延长线与点M，
∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质：三线合一定理，把证明垂直的问题转化为证明等腰三角形底边上的中线的问题．
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