Question

已知直线与轴、轴分别相交于、两点，点在轴正半

轴上，且，点、是线段的三等分点（点在点的左侧）.

(1)若直线经过点，

①求直线的解析式；

②求点到直线的距离；

(2)若点在轴上方的直线上，且

是 锐角，试探究：在直线

上是否存在符合条件的点，使

得；若存在，求出b

的取值范围，若不存在，请说明理由.

 

 

Answer 1

解：(1) ①把代入中，得：，解得：.

∴直线的解析式为：.……………………………………………………3分

②∵，点、是线段的三等分点.

∴，

∴点的坐标为.

过点作于点，则的长是点到直线的距离.

在中，令，则，

∴.…………………………………4分

令，则，∴.

在中，由勾股定理，得：，

 ，

在中，, ∴，.

∴点到直线的距离为.……………………………7分

(2)在的垂直平分线上取点（4，1.5）

以为圆心，为半径作圆，则⊙必过点，

在中，

由勾股定理，得：.

…………8分

当直线与⊙相切（切点在第一象限）时，直线上存在唯一一个符合条件的点（切点），使得，此时设的垂直平分线交直线于点，

在直线中，令，则，∴，令，则，∴,由勾股定理，得：.

∵，，∴∽，

∴，，.

∴，.…………………………………10分

则把代入中，得：，

此时直线的解析式为：.

若直线过点，则把代入中，得：，

若直线过点，则把代入中，得：，

∴当或时，点不存在；

当或时，存在符合条件的一个点；

当时，存在符合条件的两个点.