Question

15．阅读下面材料，并回答下列问题：

小明遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于点D，交AC于点E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）请你解答：
（1）证明：DE=CF；
（2）求出BC+DE的值；
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知?ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，从而问题得以解决；
（2）由DC⊥BE，四边形DCFE是平行四边形，可得Rt△BEF，求出BF的长，证明BC+DE=BF；
（3）连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，问题得证．

解答
（1）证明：∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形．
∴DE=CF．
（2）解：由于四边形DCFE是平行四边形，
∴DE=CF，DC=EF，
∴BC+DE=BC+CF=BF．
∵DC⊥BE，DC∥EF，
∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中，
∵BE=5，CD=3，
∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{34}$．
∴BC+DE=$\sqrt{34}$．
（3）连接AE，CE，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，BF=AE．
∴DC∥FE．
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴CE∥DF．
∵AC=BF=DF，
∴AC=AE=CE．
∴△ACE是等边三角形． 
∴∠ACE=60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF=∠ACE=60°．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．连接AE、CE构造等边三角形是关键．