Question

【题目】如图，在正方形中，为线段上的动点（不含端点），将沿着翻折得到，

（1）如图1，当，求长；

（2）如图2，为线段上的点，当时，求点由到的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积；

（3）如图3，在上，连接，将沿着翻折得到，连结，问是否存在点，使得与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）重叠部分的面积是；（3）存在，．

【解析】

（1）连接，根据折叠的性质证是等边三角形即可求解；

（2）因为在运动的过程中始终都等于DA，即点到D点的距离是定值，故在点由到的运动过程中，扫过的图形是以D为圆心，以DA为半径的扇形，由此确定扫过的图形与重合部分是弓形，△（恰好在CF上时）是等边三角形，根据扇形及三角形的面积公式求解即可；

（3）先根据与相似，判定是直角三角形，分时、时两种情况讨论求解即可．

（1）如图，连接，

根据折叠的性质可得：

是等边三角形

（2）如图，

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BCD=90°，CD=AD=AB=2

∵

∴∠FCD=60°

在点由到的运动过程中，扫过的图形是扇形，

当与B重合时，点与重合，

∴扫过的图形与重合部分是弓形，

当运动到如图位置时（恰好在CF上时），=DC

∴△是等边三角形，这时

过DE⊥CF于E点

重叠部分的面积是：

（3） 如图，

与关于对称

又

由折叠可知，

若与相似，则必是直角三角形

①当时

②当时，此时落在上，

过作，

在中，

又在上

与矛盾

综上所述