Question

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-nx+m-$\frac{5}{4}$关于y轴对称，且经过点（-1，-$\frac{3}{4}$）
（1）求m，n的值；
（2）直线l经过点（0，-2）且与y轴垂直，点P是抛物线上一动点，记P到直线l的距离为d，试探索d与线段OP长度的数量关系，并证明；
（3）若A（1，1），点P是抛物线上一动点，请结合函数图象，直接写出OP+AP的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称性和过已知点，可求得m、n的值；
（2）可设出P点坐标，再用P点坐标分别表示出d和OP的长，可得出d=OP；
（3）根据（2）的结论，可知OP的长与P到直线l的距离相等，可过A作直线垂直于x轴，与抛物线的交点即为满足条件的P点，容易求得OP+AP和P点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线关于y轴对称，
∴n=0，
∵抛物线经过点（-1，-$\frac{3}{4}$），
∴m+m-$\frac{5}{4}$=-$\frac{3}{4}$，解得m=$\frac{1}{4}$；
（2）d=OP．证明如下：
由（1）可知抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-1，故可设P点坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²-1），
∴点P到直线l的距离d=$\frac{1}{4}$x²-1-（-2）=$\frac{1}{4}$x²+1，
又∵OP=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{4}{x}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{16}{x}^{4}-\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^{4}+\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴d=OP；
（3）如图，过A作直线t⊥x轴，与抛物线交于点P，交直线l于点B，

由（2）可知PO=PB，
∴OP+AP=PB+AP=AB，
∴此时P点满足条件，
∴OP+AP=1-（-2）=3，把x=1代入抛物线解析式可求得y=-$\frac{3}{4}$，
∴OP+AP的最小值为3，此时点P的坐标为（1，-$\frac{3}{4}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在（1）中确定出n是解题的关键，在（2）中利用勾股定理表示出OP的距离是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题所考查知识相对基础，难度不大．