观察下列各式:$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$.$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$.-(1)请根据以上的式子填写下列各题:①$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．观察下列各式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…
（1）请根据以上的式子填写下列各题：
①$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$；②$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．（n是正整数）
（2）由以上的几个式子及你找到的规律计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2009×2010}$．

分析（1）由于：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，利用题目规律即可求出结果；
（2）根据$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，可得原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$，然后利用有理数的加减混合运算法则计算即可求解．

解答解：（1）①$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$；②$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n是正整数）．
故答案为$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$
=1-$\frac{1}{2010}$
=$\frac{2009}{2010}$．

点评此题主要考查了有理数的混合运算，解题时首先正确理解题目中隐含的规律，然后利用规律把题目变形，从而使计算变得比较简便．