Question

20．如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B，已知A，B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）将y轴向右平移6个单位长度，写出此时抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在一点P，使AB=AP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线的顶点坐标，所以设抛物线解析式为顶点式：y=a（x-3）²，然后把点B的坐标代入进行求值即可；
（2）根据题意求得平移后抛物线的顶点坐标，然后写出平移后抛物线的解析式；
（3）设P（x、y）利用两点间的距离公式得到关于y的方程，通过解方程求得y的值，进而由抛物线上点的坐标特征得到点P的横坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）²，（a≠0），
把点B的坐标（0，4）代入，得
4=a（0-3）²，
解得a=$\frac{4}{9}$．
所以该抛物线的解析式为：y=$\frac{4}{9}$（x-3）²；

（2）将y轴向右平移6个单位长度后该抛物线的顶点坐标为（-3，0），
则平移后抛物线的解析式为：y=$\frac{4}{9}$（x+3）²；

（3）设P（x、y），
∵AB=AP，A（3，0）、B（0，4），
∴AB²=AP²，即3²+4²=（x-3）²+y²，
∴25=$\frac{9}{4}$y+y²，即（y-4）（4y+25）=0，
解得y=4或y=-$\frac{25}{4}$（舍去），
则4=$\frac{4}{9}$（x-3）²，
解得x=6或x=0（舍去）．
综上所述，点P的坐标是（6，4）．

点评 本题考查了二次函数图象的几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式．解答（3）题时，也可以利用抛物线的对称性直接得到点P的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征来求点P的横坐标．