Question

18．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC=x m．
（1）若矩形花园ABCD的面积为165m²，求x的值；
（2）若在P处有一棵树，树中心P与墙CD，AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1为半径的圆形区域围在内），求矩形花园ABCD面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用矩形面积求法结合一元二次方程的解法得出答案；
（2）首先得出S与x之间的关系，进而利用二次函数增减性得出答案．

解答 解：（1）∵AB=xm，则BC=（26-x）m，
∴x（26-x）=165，
解得：x₁=11，x₂=15，
答：x的值为11m或15m；

（2）由题意可得出：
S=x（26-x）
=-x²+26x
=-（x-13）²+169，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是13m和6m，
考虑到树的生长，篱笆围矩形ABCD时，要将以P为圆心，1为半径的圆围在内，
∴14≤x≤19，
S=-x²+26x=-（x-13）²+169，
∴x=14时，S取到最大值为：
S=-（14-13）²+169=168，
答：花园面积S的最大值为168平方米．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确结合二次函数增减性求出最值是解题关键．