Question

【题目】如图，分别以的边为腰向外作等腰和等腰，连是的中线．

（1）知识理解：图①所示，当时，则与的位置关系为______，数量关系为______；

（2）知识应用：图②所示，当时，M，N分别是BC，DE的中点，求证：且；

（3）拓展提高：图③所示，四边形中，，分别以边和为腰作等腰和等腰，连，分别取、的中点，连．

①求证：；

②直接写出之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1），；（2）详见解析；（3）①详见解析；②

【解析】

（1）根据题意，延长FA交BC于点H，通过等腰三角形的相关性质得到全等条件，从而证明，进而即可得解；

（2）根据题意，延长CA至F，使，FA交DE于点P，并连接BF，先证明，再根据等角的余角相等以及中位线的性质即可得解；

（3）①根据题意，将沿AH方向平移至，沿DH方向平移至，连接EN，FQ，NG，QG，延长HG至S，使GS=GH，连接HS，QS，通过证明及进而即可得解；②通过上述问题得到的结论结合进行求解即可得解.

（1），

证明：如下图所示，延长FA交BC于点H

∵AB=AC，与为等腰直角三角形

∴

∴与为等腰三角形，

，

∵

∴

∴

∵AF是的中线，

∴

∴

∵

∴

∴，

在与中

∴

∴，

∴

∵

∴

∴，；

（2）证明：如下图，延长CA至F，使，FA交DE于点P，并连接BF

∵与为等腰直角三角形

∴，，，

∵，

∴

在与中

∴

∴，

∴

∴

又∵，M是BC中点

∴，

∴，；

（3）①证明：将沿AH方向平移至，沿DH方向平移至，

连接EN，FQ，NG，QG，延长HG至S，使GS=GH，连接HS，QS

∵AH=DH，，，，

∴，

又∵EG=FG

∴

∴GN=GQ，

∵E，G，F三点共线

∴N，G，Q三点共线

∴四边形NHQS是平行四边形

∴，

∵

∴

∵

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∴

∴；

②

证明：∵

∴.