题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形
的顶点
为坐标原点，点
在
轴的正半轴上，且
于点，点
的坐标为
，
，
，点
是线段
上一点，且
，连接
.
（1）求证：
是等边三角形；
（2）求点
的坐标；
（3）平行于的直线
从原点出发，沿轴正方向平移.设直线被四边形截得的线段长为
，直线与轴交点的横坐标为
.
①当直线与轴的交点在线段
上（交点不与点
重合）时，请直接写出与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）
②若
，请直接写出此时直线与轴的交点坐标.
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①
②
，
【解析】
（1）过点A作AM⊥x轴于点M，根据已知条件，依据三角函数求得∠AOM=60°，根据勾股定理求得OA=4，即可求得．
（2）过点A作AN⊥BC于点N，则四边形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根据三角函数求得AN、BN的值，从而求得OC、BC的长，得出点B的坐标．
（3）①如图3，因为∠B=60°，BC=4
，所以PC=12，EM=
m，因为OC=8，所以PO=4，OF=t，MF=
m，OM=
，所以PM=4+（），根据△PME∽△PCB即可求得m=
.
②如图4，△OEF是等边三角形所以OF=EF=m=2，在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°，所以BP=PE′÷sin∠B=
，PC=
，根据勾股定求得CF′=
，所以OF′=
.
解：（l）如图.
证明：过点
作
轴于点
，
∵点的坐标为
，∴
，
，
∴在
中，
，∴
由勾股定理得，
，
∵
，∴
，
∴
是等边三角形.
（2）如图
解：过点作
于点
，
∵
，轴，
∴
，
∴四边形
为矩形，∴
，
，
∵
，
，∴在
中，
，
.
∴
，
，
∴
，
，
∴点
的坐标为.
（3）
①如图3，
∠B=60°，BC=4
PC=12，EM=m，
OC=8，
PO=4，OF=t，MF=m，OM=，
PM=4+（），
由△PME∽△PCB即可求得m=.
②如图4，△OEF是等边三角形
OF=EF=m=2，
在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°
BP=PE′÷sin∠B=，PC=，
由勾股定求得CF′=，所以OF′=.
故答案为：，
