题目内容
如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值．
【答案】分析：（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明三角形全等；
（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．
解答：（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD．
∴△ABE≌△DFA．
（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB=DF=6．
在直角△ADF中，AF=
，
∴EF=AE-AF=AD-AF=2．
在直角△DFE中，DE=
，
∴sin∠EDF=
．
点评：熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；
运用全等三角形的性质和勾股定理求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．
（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．
解答：（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD．
∴△ABE≌△DFA．
（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB=DF=6．
在直角△ADF中，AF=
，∴EF=AE-AF=AD-AF=2．
在直角△DFE中，DE=
，∴sin∠EDF=
．点评：熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；
运用全等三角形的性质和勾股定理求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．
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．
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