Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，且AE⊥CP于点D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CP与⊙O相切．
（2）若AB=10，∠CAB=30°，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）如图，连接OC．欲证明直线CP与⊙O相切，只需要证得OC⊥CD；
（2）在直角△ABC中，利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”、勾股定理可以求得AC=

3

．然后在直角△ACD中，利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”来求线段CD的长度．

解答：（1）证明：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD；
又∵∠OAC=∠DAC，
又∵AD⊥CP，
∴OC⊥CP，
∴直线CP与⊙O相切．

（2）解：连接BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵AB=10，∠CAB=30°，
∴BC=10÷2=5
∴AC=

AB2-BC2

=

102-52

=5

3

．
又∵∠1=∠2=30°，AE⊥CP于点D，
∴CD=5

3

×

1

2

=

5

2

3

．

点评：本题考查了切线的判定、勾股定理以及圆周角定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．