题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将三角板中一个30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．（1）画出符合条件的图形．连接EF后，写出与△ABC一定相似的三角形；
（2）设AD=x，CF=y．求y与x之间函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．
【答案】分析：（1）根据题意画出图形，根据图形证出∠C=∠EDA=90°，∠A=∠A，即可推出两三角形相似；
（2）求出等边三角形BDF，求出BF=BD=1-y，又因为BD=AB-x=2-x，代入求出即可，根据y=x-1≥0得出x≥1，根据一定与线段AC、BC相交，得出AD最大到M处，求出AM即可得出答案；
（3）分为两种情况：①E为直角顶点时，求出AE，求出CE=
CF=
（x-1），根据AE+CE=
得出关于x的方程，求出即可；②F为直角顶点时，求出CE=
CF，推出方程
x+
（x-1）=
，求出x即可．
解答：
解：（1）如图所示：
与△ABC一定相似的三角形是△AED；
（2）在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=
，
∵DE⊥AB，∠EDF=30°，
∴∠FDB=∠B=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF=BD，
∴CF=1-BF=1-（2-AD）=AD-1，
∴y=x-1，
∵x-1≥0，
∴x≥1，
∵将三角板放在三角形ABC上时，一定与边AC、BC相交，
∴过C作CM⊥AB于M，最后D只能到M点，
此时BM=
BC=
，
∴x此时是2-
=
，
∴函数的定义域（即x的取值范围）是：1≤x≤
；
（3）在Rt△ADE中，
∵∠ADE=90°，∠A=30°，AD=x，
∴AE=
，
当△CEF∽△EDF时（如图1），
∵∠CEF=∠EDF=30°，
∴CE=
CF，
∴
x+
（x-1）=
，
解得：x=
，
即AD=
；
当△CEF∽△FED时（如图2），
∵∠CFE=∠FDE=30°，
∴CE=
CF，
∴
x+
（x-1）=
，
解得：x=
，
即AD=
；
综上所述：AD=
或AD=
．
点评：本题考查的知识点有：含30度角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数，直角三角形性质，函数的定义域等，主要考查学生的计算能力和推理能力，题目比较好，有一定的难度．
（2）求出等边三角形BDF，求出BF=BD=1-y，又因为BD=AB-x=2-x，代入求出即可，根据y=x-1≥0得出x≥1，根据一定与线段AC、BC相交，得出AD最大到M处，求出AM即可得出答案；
（3）分为两种情况：①E为直角顶点时，求出AE，求出CE=
CF=（x-1），根据AE+CE=得出关于x的方程，求出即可；②F为直角顶点时，求出CE=CF，推出方程x+（x-1）=，求出x即可．解答：
解：（1）如图所示：与△ABC一定相似的三角形是△AED；
（2）在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=
，∵DE⊥AB，∠EDF=30°，
∴∠FDB=∠B=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF=BD，
∴CF=1-BF=1-（2-AD）=AD-1，
∴y=x-1，
∵x-1≥0，
∴x≥1，
∵将三角板放在三角形ABC上时，一定与边AC、BC相交，
∴过C作CM⊥AB于M，最后D只能到M点，
此时BM=
BC=，∴x此时是2-
=，∴函数的定义域（即x的取值范围）是：1≤x≤
；（3）在Rt△ADE中，
∵∠ADE=90°，∠A=30°，AD=x，
∴AE=
，当△CEF∽△EDF时（如图1），
∵∠CEF=∠EDF=30°，
∴CE=
CF，∴
x+（x-1）=，解得：x=
，即AD=
；当△CEF∽△FED时（如图2），
∵∠CFE=∠FDE=30°，
∴CE=
CF，∴
x+（x-1）=，解得：x=
，即AD=
；综上所述：AD=
或AD=．点评：本题考查的知识点有：含30度角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数，直角三角形性质，函数的定义域等，主要考查学生的计算能力和推理能力，题目比较好，有一定的难度．
练习册系列答案
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