Question

【题目】（分）在菱形中， ， ，点是线段上的一个动点．

（）如图①，求的最小值．

（）如图②，若也是边上的一个动点，且，求的最小值．

（）如图③，若，则在菱形内部存在一点，使得点分别到点、点、边的距离之和最小．请你画出这样的点，并求出这个最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）根据正弦的定义求出AE的最小值；
（2）连接、、，在菱形中，可证为等边三角形，

的最小值即为的最小值．
（3）以为边在菱形外作等边，作于， 即为点分别到点、点、边的距离之和最小，当于时，点即为所求．

试题解析：（）根据垂线段最短，当时， 最小，最小为菱形的高．

（）连接、、，

在菱形中，可证为等边三角形，

的最小值即为的最小值．

（）如图，以为边在菱形外作等边，

作于， 即为点分别到点、点、边的距离之和最小，

当于时，点即为所求．理由如下：

当绕点逆时针旋转得到，点在上，

此时， ， ，

要使点分别到点、点、边的距离之和最小，

则要即可．

作，

由题意可得： 为的中点．

在中， ， ，

∴， ，

∴．