Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，求PD的长度最大时点P的坐标．

(3)设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣4x+3；(2)PD的长度最大时点P的坐标为(，﹣)；(3)点M的坐标为M1(2，3)，M2(2，1﹣2)，M3(2，1+2)

【解析】

（1）用待定系数法法求解；把已知点的坐标分别代入解析式可得；

（2）设P(m，m2﹣4m+3)，将点B(3，0)、C(0，3)代入得直线BC解析式为yBC=﹣x+3．过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，则D(m，﹣m+3)，PD==﹣(m﹣)2+，求函数最值可得．

（3）设存在以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E(2，1)，EF=CF=2，求出EC=2，根据菱形性质，ME=EC=2，可求出M的坐标；注意当EM=EF=2时，M(2，3).

解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与

y轴交于点C，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

(2)如图：

设P(m，m2﹣4m+3)，

将点B(3，0)、C(0，3)代入得直线BC解析式为yBC=﹣x+3．

∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，

∴D(m，﹣m+3)，

∴PD=(﹣m+3)﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m．

=﹣(m﹣)2+．

∴当m=时，PD有最大值．

当m=时，m2﹣4m+3=﹣．

∴P(，﹣)．

答：PD的长度最大时点P的坐标为(，﹣)．

(3)存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．

根据题意，点E(2，1)，

∴EF=CF=2，

∴EC=2，

根据菱形的四条边相等，

∴ME=EC=2，

∴M(2，1﹣2)或(2，1+2)

当EM=EF=2时，M(2，3)

答：点M的坐标为M1(2，3)，M2(2，1﹣2)，M3(2，1+2)．