Question

在△ABC和△ADE中，AC=AB，AE=AD，∠BAC=∠DAE=m，CE，DB交于点F，连接AF．
（1）如图，当如图当m=60°时，猜想BD，CE的关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，猜想线段AF，BF，CF数量关系，并证明你的结论；
（3）当m=90°时直接写出AF，BF，CF的关系．

Answer 1

分析：（1）由条件证明△ACE≌△ADB，就可以得出BD=CE的结论；
（2）如图1，作∠FAG=60°，交EC于点G，证明△AGC≌△AFB就可以得出结论CF=AF+BF；
（3）如图2，作GA⊥AF于点A交CF于点G，证明△AGC≌△AFB就可以得出AG=AF，△AGF是等腰直角三角形，就有GF=

2

AF，就可以得出结论CF=BF+

2

AF．

解答：解：（1）BD=CE
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD．
在△ACE和△ADB中

AC=AB ∠CAE=∠BAD AE=AD

，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴BD=CE；

（2）CF=AF+BF
理由：如图1，作∠FAG=60°，交EC于点G．
∵∠CAB=60°，
∴∠CAB=∠GAF．
∴∠CAB-∠GAB=∠GAF-∠GAB，
即∠CAG=∠FAB．
∵△ACE≌△ADB，
∴∠ACE=∠ABD．
在△AGC和△AFB中

∠CAG=∠FAB AC=AB ∠ACE=∠ABD

，
∴△AGC≌△AFB（ASA）
∴AG=AF，CG=BF．
∵∠FAG=60°，
∴△FAG为等边三角形，
∴AF=FG．
∵CF=CG+GF，
∴CF=BF+AF；

（3）CF=BF+

2

AF
如图2，作GA⊥AF于点A交CF于点G，
∴∠GAF=90°．
∵∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠GAE．
∴∠CAB-∠GAB=∠GAE-∠GAB，
即∠CAG=∠FAB．
在△AGC和△AFB中

∠CAG=∠FAB AC=AB ∠ACE=∠ABD

，
∴△AGC≌△AFB（ASA）
∴AG=AF，CG=BF．
∵∠FAG=90°，
∴△FAG为等腰直角三角形，
∴GF=

2

AF，
∵CF=CG+GF，
∴CF=BF+

2

AF；

点评：本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时正确作出辅助线是难点，证明三角形全等是关键．