Question

【题目】已知二次函数y1＝m（x﹣1）（x+3）（m≠0）的图象经过点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）当x取a，b（a≠b）时函数值相等，求x取a+b时的函数值；

（3）若反比例函数y2＝（k＞0，x＞0）的图象与（1）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标x满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ; (2) x取a+b时的函数值为; (3) k的取值范围为5＜k＜18．

【解析】

（1）直接利用待定系数法求函数的解析式即可．

（2）首先根据解析式求得对称轴x＝﹣1，因为当x取a，b（a≠b）时函数值相等，则＝﹣1，即可求出a+b的值；再将x＝a+b代入即可求得函数值；

（3）点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，可通过x＝2，x＝3两个点上抛物线与反比例函数的大小关系即可求出k的取值范围．

（1）将点（0，-）代入y＝a（x﹣1）（x+3），解得a＝．

∴抛物线解析式为．

（2）由抛物线y1＝m（x﹣1）（x+3）（m≠0）可知抛物线与x轴的交点为（1，0），（﹣3，0），

∴对称轴为直线x＝＝﹣1，

∵当x取a，b（a≠b）时函数值相等，

∴＝﹣1，

∴a+b＝﹣2．

∴y1＝（﹣2﹣1）（﹣2+3）＝﹣，

x取a+b时的函数值为﹣．

（3）当2＜x＜3时，函数y1＝x2+x﹣，y1随着x增大而增大，对y2＝（k＞0），y2随着x的增大而减小．

∵A（x0，y0）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，

∴当x0＝2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，

即，解得k＞5．

当x0＝3时，二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，

即，解得k＜18．

所以k的取值范围为5＜k＜18．