Question

【题目】已知：内接于⊙，连接并延长交于点，交⊙于点，满足．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接，点为弧上一点，连接，=，过点作，垂足为点，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，分别连接，，过点作，交⊙于点，，，连接，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α，再根据圆周角定理以及三角形内角和与外角的性质证明∠ACB=∠ABC即可解决问题；
（2）如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD．证明△ADB≌△AZC（SAS），推出AD=AZ即可解决问题；
（3）连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．假设OH=a，PC=2a，求出sin∠OHK=，从而得出∠OHK=45°，再根据角度的转化得出∠DAG=∠ACO=∠OAK，从而有tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，进而可求出DG，AG的长，再通过勾股定理以及解直角三角形函数可求出FT，PT的长即可解决问题．

（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α．

∵∠BEC=∠BAC+∠ACD，

∴∠BAC=2α，
∵CD是直径，

∴∠DAC=90°，
∴∠D=90°-α，

∴∠B=∠D=90°-α，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-2α-（90°-α）=90°-α．
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD．

∵=，

∴DB=CF，
∵∠DBA=∠DCA，CZ=BD，AB=AC，
∴△ADB≌△AZC（SAS），

∴AD=AZ，
∵AG⊥DZ，

∴DG=GZ，
∴CG=CZ+GZ=BD+DG=CF+DG．

（3）解：连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．

∵CP⊥AC，

∴∠ACP=90°，

∴PA是直径，
∵OR⊥PC，OK⊥AC，

∴PR=RC，∠ORC=∠OKC=∠ACP=90°，
∴四边形OKCR是矩形，

∴RC=OK，
∵OH:PC=1:，

∴可以假设OH=a，PC=2a，

∴PR=RC=a，
∴RC=OK=a，sin∠OHK=，

∴∠OHK=45°．
∵OH⊥DH，

∴∠DHO=90°，

∴∠DHA=180°-90°-45°=45°，
∵CD是直径，

∴∠DAC=90°，

∴∠ADH=90°-45°=45°，
∴∠DHA=∠ADH，

∴AD=AH，
∵∠COP=∠AOD，

∴AD=PC，
∴AH=AD=PC=2a，
∴AK=AH+HK=2a+a=3a，
在Rt△AOK中，tan∠OAK=，OA=，

∴sin∠OAK=，

∵∠ADG+∠DAG=90°，∠ACD+∠ADG=90°，

∴∠DAG=∠ACD，
∵AO=CO，

∴∠OAK=∠ACO，
∴∠DAG=∠ACO=∠OAK，
∴tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，
∴AG=3DG，CG=3AG，
∴CG=9DG，
由（2）可知，CG=DG+CF，
∴DG+12=9DG，

∴DG=，AG=3DG=3×=，
∴AD=，

∴PC=AD=．

∵sin∠F=sin∠OAK，

∴sin∠F=，

∴CT=，

FT=，

PT=，

∴PF=FT-PT=．