Question

在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F为BC上的中点，连接DE，EF，DF．
（1）求证：DF=EF；
（2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；
（3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
而F为BC上的中点，
∴EF=BC，DF=BC，
∴DF=EF；

（2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；

（3）△ADE∽△ACB．理由如下：
证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
而∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
分析：（1）由CD⊥AB，BE⊥AC得∠BEC=∠BDC=90°，而F为BC上的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到结论；
（2）DC与BE交于P点，相似三角形有：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；
（3）易得△ABE∽△ACD，则=，加上∠DAE=∠CAB，所以△ADE∽△ACB．
点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的性质．