Question

（2013•河池）如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．
（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；
（3）在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c²≠a²+b²．在任意△ABC中，c²=a²+b²+k．就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABFG与BCFD，得到两对边相等，一对直角相等，根据图形利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS即可得到三角形全等；
（2）连接FD，由（1）的三角形全等，得到AD=FC，∠BAD=∠BFC，利用等式的性质及垂直定义得到AD与CF垂直，四边形AFDC面积=三角形ACD面积+三角形ACF面积+三角形DMF面积-三角形ACM面积，求出即可；
（3）根据a，b及c为三角形三边长，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出关于c的不等式，将a与b的值代入求出c的范围，进而确定出c²的范围，即a²+b²+k的范围，即可求出k的范围．

解答：解：（1）∵正方形ABFG、BCED，
∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，
∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠ABD=∠CBF，
在△ABD和△FBC中，

AB=FB ∠ABD=∠CBF DB=CB

，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；

（2）连接FD，设CF与AB交于点N，
∵△ABD≌△FBC，
∴AD=FC，∠BAD=∠BFC，
∴∠AMF=180°-∠BAD-∠CNA=180°-（∠BFC+∠BNF）=180°-90°=90°，
∴AD⊥CF，
∵AD=6，
∴FC=AD=6，
∴S_{四边形AFDC}=S_△ACD+S_△ACF+S_△DMF-S_△ACM，
=

1

2

AD•CM+

1

2

CF•AM+

1

2

DM•FM-

1

2

AM•CM，
=3CM+3AM+

1

2

（6-AM）（6-CM）-

1

2

AM•CM，
=18；

（3）∵在△ABC中，设BC=a=3，AC=b=2，AB=c，
∴a-b＜c＜a+b，即1＜c＜5，
∴1＜c²＜25，即1＜a²+b²+k=13+k＜25，
解得：-12＜k＜12．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形、四边形的面积，以及三角形的三边关系，属于多知识点的四边形综合题．