Question

如图，点A、B在双曲线y=

4

x

（x＞0）图象上，延长AB交x轴于点C，且

AB

BC

=

2

1

，连接OA交双曲线y=

1

x

（x＞0）的图象于点D，则△ABD的面积为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：过点A，点B，点D分别作OC的垂线AE，BF，DG，垂足分别为E，F，G，利用反比例函数k的几何意义求出三角形ODG与三角形OAE的面积之比，由两三角形相似，确定出相似比，即DG与AE之比，设y_D=DG=a，则有y_A=AE=2a，进而表示出G与OE，由三角形AEC与三角形BFC相似，且AB：BC=2：1，求出AE与BF之比，表示出B的纵坐标，得到B的横坐标，进而表示出GF与EF，三角形ADB面积=四边形AOFB面积-四边形DOBF面积=三角形AOE面积+四边形AEFB面积-三角形ODG面积-四边形DGFB面积，求出即可．

解答：解：过点A，点B，点D分别作OC的垂线AE，BF，DG，垂足分别为E，F，G，
∵S_△ODG=

1

2

OG•DG=

1

2

x_D•y_D=

1

2

，S_△OAE=

1

2

OE•AE=

1

2

x_A•y_A=2，
∴S_△ODG：S_△OAE=1：4，
∵△ODG∽△OAE，
∴DG：AE=1：2，
设y_D=DG=a，则有y_A=AE=2a，
∴OG=x_D=

1

yD

=

1

a

，OE=x_A=

4

yA

=

2

a

，
∵△AEC∽△BFC，AB：BC=2：1，
∴AE：BF=3：1，即y_B=BF=

AE

3

=

2

3

a，
∴OF=x_B=

4

yB

=

12

2a

=

6

a

，
∴GF=OF-OG=

6

a

-

1

a

=

5

a

，EF=OF-OE=

6

a

-

2

a

=

4

a

，
∴S_△ABD=S_{四边形AOFB}-S_{四边形DOFB}
=S_△OAE+S_{四边形AEFB}-S_△ODG-S_{四边形DGFB}
=2+

1

2

（AE+BF）•EF-

1

2

-

1

2

（DG+BF）•GF
=2+

1

2

（2a+

2

3

a）•

4

a

-

1

2

-

1

2

（a+

2

3

a）•

5

a

=2+

16

3

-

1

2

-

25

6

=

8

3

．
故答案为：

8

3

．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，反比例函数k的几何意义，以及四边形与三角形面积求法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．