Question

（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，同时动点F从点C出发，在线段CD上以每秒1个单位长的速度向终点D运动，设运动时间为t秒．

（1）线段AC的长= ；

（2）当△PCF与△EDF相似时，求t的值；

（3）连接PE，以PE所在直线为对称轴作线段DC的轴对称图形D′C′，若点D′恰好落在线段AE上，求t的值。

 

Answer 1

（1）6；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）过E作EG垂直AC于点G，则易知EG=DC=3，CG=DE=2

∵AE=5，∴AG=4，tanA=

∴AC=AP+PA=6

（2）①△PCF∽△EDF

∴,即

整理得：t2-6t+6=0

解得t=

∵0<t<3

∴t=

②△EDF∽△FCP

∴,即

解得

综上，当△PCF与△EDF相似时，t=；

（3）由（1）可知tanA=，且由对称性易知：∠C’=∠C’D’A=90°；ED’=ED=2

∴AD’=3;MD’=；MC’=

∴△PMC’∽△AMD’

∴;

∴6-2t=1

解得：

考点：1.相似三角形；2.对称的性质