Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC的中点，连接DE.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若∠BAC＝30°，DE＝3，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）9.

【解析】

试题（1）如图，作辅助线；根据题意结合图形，证明∠ODE=90°，即可解决问题．

（2）首先求出BC=6，进而求出BD的值；运用直角三角形的性质求出AD的值，即可解决问题．

试题解析：（1）连接OD、BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=∠CDB=90°；

又∵点E为BC的中点，

∴BE=DE，

∴∠BDE=∠EBD；

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA；

又∵∠OAD+∠OBD=90°，∠EBD+∠OBD=90°，

∴∠OAD=∠EBD，即∠ODA=∠BDE；

∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°，

又∵点D在⊙O上，

∴DE是圆⊙O的切线．

（2）解：由（1）知BC=2DE=6，

又∵∠CBD=∠BAC=30°，

∴CD=3，BD=3

∴AB=6；

由勾股定理得：AD=9．