Question

【题目】定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”.如图1在中，若，则是“和谐三角形”.

（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是______命题（填“真”或“假”）.

（2）若中，，，，，且，若是“和谐三角形”，求.

（3）如图2，在等边三角形的边，上各取一点，，且，，相交于点，是的高，若是“和谐三角形”，且.

①求证：.

②连结，若，那么线段，，能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）真；（2）.（3）能，证明见解析

【解析】

（1）利用“和谐三角形”的定义验证即可；

（2）若是“和谐三角形”，分，，三种情况，分别进行讨论即可；

（3）①先利用是“和谐三角形”和第（2）问的结论得出，然后再利用等边三角形的性质证明，则结论可证；

②先证明，得出，设出，，然后分别表示出，然后用“和谐三角形”定义验证即可.

（1）设等边三角形三边分别为a,b,c

∵三角形为等边三角形

∴a=b=c

∵

∴等边三角形是“和谐三角形”

故答案为“真”

（2）∵，，，，

∴.

①若，则.（舍去）

②若，则，

∴，得.

由勾股定理得

∴.

③若，则，

∴，得.

由勾股定理得

∴

∵

∴（舍去）

综上可知，是“和谐三角形”时.

（3）①∵在等边三角形中，

∴，.

又∵是的高，是“和谐三角形”，

∴.

∴.

∴.

又∵.

∴.

∴.

∴.

②

∵，

∴.

∴

∴.

由，知，

设，，则.

∴

，

∴，

∴，

∴线段，，能组成一个和谐三角形.