Question

2．如图，在△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连接AN，CM交于P点，求证：∠APM=45°．

Answer 1

分析 可过点M作ME∥AN，使ME=CN，连NE，AE，得出四边形MENC为平行四边形，再通过求证△AME≌△CBM，可得出△AEN为等腰直角三角形，即可解答．

解答 证明：如图，过M作ME∥AN，使ME=CN，连结NE，AE，

则四边形MENC为平行四边形，
∴∠APM=∠ANE，∠MCN=∠MEN，
∵∠EMB=∠B=90°，
∴∠AME=90°，
由CN=MB，CN=ME，
∴MB=ME，
在△AME和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{MB=ME}\\{∠AME=∠CBM=9{0}^{°}}\\{AM=BC}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△CBM，
∵AE=MC=EN，
∴∠AEM+∠MEN=∠AEM+∠BCM=∠AEM+∠MAE=90°，
∴△AEN为等腰直角三角形，
∴∠ANE=45°，即∠APM=45°．

点评 本题主要考查平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是作出辅助线．