Question

【题目】已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．

（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．

（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或．

【解析】

（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；
（2）S△DAC=2S△DCM，则，，即可求解；
（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）二次函数表达式为：，

将点的坐标代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：…①，

则点，

将点的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线的表达式为：；

（2）存在，理由：

二次函数对称轴为：，则点，

过点作轴的平行线交于点，

设点，点，

∵，

则，

解得：或5（舍去5），

故点；

（3）设点、点，，

①当是平行四边形的一条边时，

点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，

同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，

即：，，而，

解得：或﹣4，

故点或；

②当是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：，，而，

解得：，

故点或；

综上，点或或或．