Question

15．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的个数有（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA=FC，根据等边三角形的性质可得EA=EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA=∠EAF=90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，可得到四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AD=AB=2AF=4AG；易证DB=DA=EF，∠DBF=∠EFA=60°，BF=FA，即可得到△DBF≌△EFA．

解答 解：连接FC，如图所示：
∵∠ACB=90°，F为AB的中点，
∴FA=FB=FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA=EC，
∵FA=FC，EA=EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA=90°，BD=DA=AB=2AF，∠DBA=∠DAB=∠EAC=∠ACE=60°．
∵∠BAC=30°，
∴∠DAC=∠EAF=90°，
∴∠DFA=∠EAF=90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴DA=EF，AF=2AG，
∴BD=DA=EF，DA=AB=2AF=4AG；
在△DBF和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=FE}\\{∠DBF=∠EFA}\\{BF=FA}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EFA；
综上所述：①③④正确，
故选C．

点评 本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性比较强，有一定难度．