Question

12．如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA=4，PC=8，求tan∠ACD和sin∠P的值．

Answer 1

分析 如图，连接OC．∠先证明△PCA∽△PBC，得$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PA}{PC}$，推出PB=16，AB=12，由$\frac{1}{2}$•PC•OC=$\frac{1}{2}$•PO•CD，求出CD=$\frac{24}{5}$，在Rt△COD中，利用OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$，求出OD，再根据tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$，sin∠P=$\frac{CD}{PC}$，即可解决问题．

解答 解：如图，连接OC．

∵PA是切线，
∴OC⊥PC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠PCO=90°，
∵∠B+∠BAC=90°，∠PCA+∠ACO=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠B，∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PA}{PC}$，
∴$\frac{8}{PB}$=$\frac{4}{8}$，
∴PB=16，AB=PB-PA=12，OC=OA=OB=6，PO=10，
∵CD⊥OP，
∴$\frac{1}{2}$•PC•OC=$\frac{1}{2}$•PO•CD，
∴CD=$\frac{24}{5}$，
在Rt△COD中，OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴AD=OA-OD=$\frac{12}{5}$，
∴tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{18}{5}}$=$\frac{2}{3}$，
sin∠P=$\frac{CD}{PC}$=$\frac{\frac{24}{5}}{8}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．