Question

4．已知∠ADE=∠C，AG平分∠BAC交DE于F，交BC于G．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）连接DG，若DG∥AC，$\frac{AF}{AG}$=$\frac{2}{5}$，AD=6，求CE的长度．

Answer 1

分析 （1）因为AG平分∠BAC，所以∠DAF=∠CAG，又因为∠ADE=∠C，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出AC=15，AE=4，即可得出CE=11．

解答 （1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠DAF=∠CAG，
又∵∠ADE=∠C，
∴△ADF∽△ACG；
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AG}$=$\frac{2}{5}$，
∴AC=$\frac{5}{2}$AD=15，
∵DG∥AC，
∴∠AGD=∠CAG，△BDG∽△BAC，
∴$\frac{BG}{BC}=\frac{DG}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$，
∵AG平分∠BAC，
∴∠AGD=∠DAG，
∴DG=AD=6，
∴$\frac{BG}{BC}=\frac{DG}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$=$\frac{2}{5}$，即$\frac{BD}{BD+6}$=$\frac{2}{5}$，
解得：BD=4，
∴AB=10，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$，
∴AE=$\frac{2}{5}$AB=4，
∴CE=AC-AE=11．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似的成比例是解决问题的关键．