Question

【题目】已知，

(1) 如图1，若BD=DC，点C在AE的垂直平分线上。AB+BD与DE有什么关系？请给出证明。

(2) 如图2，若, AB+BD与DE是否还存在（1）中的关系？若存在，请给出证明，若不存在，请说明理由。

(3) 若，则AB+AE与AD+BE有怎样的关系？答：AB+AE AD+BE （填“>”,“<”或“=”）

Answer 1

【答案】（1）AB+BD=DE,理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）＜.

【解析】

（1）分别根据AD垂直平分BC和C在AE的垂直平分线上证明AB=AC=CE，BD=CD，由此可得AB+BD=DE；

（2）在DE上取点M，使BD=DM，根据AD⊥BM，BD=MD可证明∠B=∠AMB，再根据可证明∠MAE=∠E，由此可证明AM=ME=AB，即可证明AB+BD =DE；

（3）通过勾股定理可得,通过等面积法可得,再由完全平方公式可推理出，由此可证.

（1）AB+BD=DE,理由如下：

∵C在AE的垂直平分线上

∴AC=CE

又∵AD⊥BC，BD=CD

∴AD垂直平分BC

∴AB=AC, BD =CD

∴AB= CE

∴AB+BD=CE+CD=DE；

（2）仍然成立，理由如下：

如图，在DE上取点M，使BD=DM，连接AM

∵AD⊥BM，BD=MD，

∴AB=AM，

∴∠B=∠AMB=2∠E=∠E+∠MAE

∴∠MAE=∠E

∴AM=ME=AB

∴AB+BD=ME+DM=DE；

（3）∵，

∴在△ABE中根据勾股定理可得

由直角三角形的面积公式可得

即

∴

∵

∴，

∵线段的长度皆为正

∴