Question

在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，F为AB边上的中点，当∠C=2∠EFD时，求∠C的度数．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：先在RT△ABE中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AF=EF=BF，根据等边对等角得到∠FAE=∠AEF，∠FEB=∠FBE．同理，在直角三角形ABD中，得出AF=DF=BF，那么∠FAD=∠ADF，∠FDB=∠FBD，再根据四边形CDFE内角和为360°得出∠C+∠CEB+∠BEF+∠ADF+∠ADC+∠EFD=360°，将∠C=2∠EFD代入得到∠C+

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∠C+∠EBF+∠DAF=180°．设AD，BE交于点G．由三角形外角的性质得出∠EBF+∠DAF=∠AGE，进而得到∠C+

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∠C+∠C=180°，从而求得∠C=72°．

解答：解：在RT△ABE中，
∵F为AB中点，
∴AF=EF=BF，
∴∠FAE=∠AEF，∠FEB=∠FBE．
同理，在直角三角形ABD中，
AF=DF=BF，
∠FAD=∠ADF，∠FDB=∠FBD，
∵∠C+∠CEB+∠BEF+∠ADF+∠ADC+∠EFD=360°，
∴∠C+∠BEF+∠EFD+∠ADF+180°=360°，
∴∠C+

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∠C+∠BEF+∠ADF=180°，
∴∠C+

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∠C+∠EBF+∠DAF=180°．
设AD，BE交于点G．
∴∠EBF+∠DAF=∠AGE，
∵∠AEB=∠ADC，
∴∠C=∠EGA，
∴∠C+

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∠C+∠C=180°，
∴∠C=72°．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，多边形内角和定理，三角形外角的性质，有一定难度．