题目内容

如图1，y= $数学公式$ x+1交x轴于A，交y轴于B，C（m，m）是直线AB上一点，反比例函数y= $数学公式$ 经过C点
（1）求C点坐标及反比例函数解析式；
（2）如图2，D为反比例函数上一点，以CB，CD为边作平行四边形BCDE，问四边形BCDE能否是正方形？如果能，求出D点和另一顶点E的坐标；如果不存在，说明理由；
（3）如图3，过C点任作一直线，P为该直线上一点，满足∠BPE=135°，求证：PC-PE= $数学公式$ PB．

解：（1）∵y= $\text{[math]}$ x+1交x轴于A，交y轴于B，
y= $\text{[math]}$ x+1交x轴于A，
∴0= $\text{[math]}$ x+1，
解得：x=-2，
A点的坐标为：（-2，0），
∵y= $\text{[math]}$ x+1交y轴于B，
∴y=1，
∴B点的坐标为：（0，1），
∵C（m，m）是直线AB上一点，

∴m= $\text{[math]}$ m+1，
解得：m=2，
C点的坐标为：（2，2），
∴反比例函数解析式为：y= $\text{[math]}$ ；

（2）∵C点的坐标为：（2，2），
B点的坐标为：（0，1），
∴BC= $\text{[math]}$ ，
当CD= $\text{[math]}$ ，
∴D点的坐标为：（1，4），

代入y= $\text{[math]}$ ，得出，（1，4）正好在函数图象上，
∴E点的坐标为：（-1，3）；

（3）将△BPE绕点B顺时针旋转90°到△BMC，连接PM，
∵△BPM是等腰直角三角形，又∠BMC=135°，
∴C，M，P三点共线，
∴PC-PE=PM= $\text{[math]}$ BP，
即PC-PE= $\text{[math]}$ PB．
分析：（1）首先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，进而求出C点的坐标，从而得出反比例函数的解析式；
（2）利用两点之间距离公式，求出BC的长进而得出CD的长，进而求出E点的坐标；
（3）利用三角形旋转的性质得出C，M，P三点共线，即PC-PE=PM= $\text{[math]}$ BP．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，利用三角形相似求出对应边之间的大小关系进而得出CF= $\text{[math]}$ PB是解决问题的关键．