Question

【题目】已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；

（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．

解：（1）连接OB、OC，

∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，

∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，

在△OAB和△OAC中，

，

∴△OAB≌△OAC（AAS），

∴AB＝AC

即△ABC是等腰三角形；

（2）延长AO交BC于点H，

∵AH平分∠BAC，AB＝AC，

∴AH⊥BC，BH＝CH，

设OH＝b，BH＝CH＝a，

∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6，

则 　①

BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，

则 　②

②－①得：

把代入①得：（舍）

∴BC＝2a＝3．